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ANÁLISIS DE VARIABLE COMPLEJA
Esta asignatura requiere haber cursado con aprovechamiento las asignaturas correspondientes al Análisis Real, de una y varias variables, y un curso de Topología de conjuntos. El objetivo principal de este curso es el de proporcionar al alumno la formación básica sobre la teoría de funciones de una variable compleja (conocida también como Variable Compleja o Análisis Complejo) a través de la teoría de Cauchy basada en la noción de integral a lo largo de un camino, el teorema global de Cauchy y sus aplicaciones a la teoría de residuos. Distintas aplicaciones y consecuencias de resultados anteriores, como el teorema de Rouché o los teoremas de la aplicación abierta e inversa, además de otros resultados específicos sobre series de potencias y productos infinitos, serán tópicos a conceptualizar en el presente curso.
Competencias específicas (CE)
Esta asignatura tiene por objetivo primordial presentar los principales tópicos de la Teoría de Funciones de Variable Compleja (también llamada Variable Compleja o Análisis Complejo). Por tanto, inicialmente se tendrá que dominar las operaciones básicas con números complejos, desigualdades, representaciones geométricas, y cálculo de raíces y logaritmos. A partir del concepto de derivabilidad, en esta primera parte de la asignatura el alumno ha de asimilar la importante noción de función analítica y su relación con las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En este contexto, también se precisará el tratamiento de funciones elementales como la exponencial, logarítmica, potencia, trigonométricas e hiperbólicas. En la segunda parte de la asignatura se trata que el alumno interiorice el proceso de trabajo llevado a cabo en la teoría de Cauchy basada en la integral a lo largo de un camino. Distintas aplicaciones y consecuencias de la teoría de Cauchy, tales como el teorema de Morera, el principio de reflexión de Schwarz, el teorema de Liouville o el principio del módulo máximo, serán un objeto primordial en este punto del temario. Además, en la tercera parte del temario se trata que el alumno conozca y sepa manejar correctamente las aplicaciones de la teoría de Cauchy al estudio de la noción de singularidad y los desarrollos de Laurent. En cuarto lugar, la aplicación a la teoría de residuos y algunas de sus consecuencias prácticas constituye otro punto del temario a dominar. En quinto y último lugar, se trata de comprender y manejar adecuadamente las herramientas propias de los productos infinitos y los principales teoremas de factorización de funciones enteras.
